MATEMATIKA EKONOMI (ECONOMIC MATH)

BAB 1 ( Chapter :  Economic Models )

Economic models

Consept of sets

Ingredients of mathematical models

• An economic model is merely a theoretical framework, and  there is no inherent reason why it must be mathematical.
• Variable is something whose magnitude can change, i.e., something that can take on diferent values.
• Variables frequantly used in economics include price, profit, revenue, cost, investment.
• Varieble can assume various values by symbol, we may represent price by P, profit by ¡Ç revenue by R, cost by C, national income by Y.
• Constant (á) is a magnitude thas does not change and is therefore antithesis of variables
• In short, it is a constant is variable to identify its special status, we give it the distinctive name parameter

Equation and identities

• In economics applications we may distinguish between three types of equation: definitional equation, behavioral equation, conditional equaition.
• Definitional equation sets up an identity between two alternate expressions that have exactly the same meaning (sign ß ‘identically equal to’)
• Behavioral equation may involve either human behavior such as consumption, production function, tax structure C=75 + Q

• Conditional equation states a requirement to be satisfied, for example in a model of equilibrium

      Qd = Qs MR = MC

Consept of sets

• Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek
• Obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota atau elemen
• Obyek himpunan berupa benda, angka, huruf
• Himpunan disajikan dengan huruf A;B;C;D
• Obyek yang menjadi anggota himpunan disajikan dengan huruf a;b;c;d

Notasi Himpunan

• a . A berarti obyek a adalah anggota/elemen himpunan A

• A . B Berarti A merupakan himpunan bagian dari B
• A = B Berarti angota himpunan A juga merupakan anggota B
• A ‚ B Berarti himpunan A tidak sama dengan B

Penyajian Himpunan

• Cara daftar

A = {1,2,3,4,5}

• Cara kaidah

A= {x; 0< x <6}

A= {x; 1¡Ü x ¡Ü5}

                          

Contoh penulisan Himpunan

• U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Kesimpulan yang bisa ditarik adalah

   x . U dimana 0 ¡Ü x ¡Ü 4

A = {0,1,2,3,4}

B = {5,6,7,8,9}

C = {0,1,2,3,4}

A ‚ C, A ‚ B, dan B ‚ C

U C dan U B U A , ,

Operasi Himpunan

• Union (gabungan)

A U B = { x; x € A atau x € B}

• Intersection (irisan)

A ¿ B = { x; x € A atau x € B}

• Selisih antara A dengan B ditulis dengan notasi A – B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek milik A yang bukan obyek B

Contoh Operasi Himpunan

• U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• P = {1,2,3,4,5}

• Q = {4,5,6,7,8}

• R = {6,7,8,9}

• P U Q = {1,2,3,4,5,6,7,8}

• P ¿ Q = {4,5}

• P – Q = {1,2,3}

BAB II : SISTEM BILANGAN HIMPUNAN

SISTEM BILANGAN BILANGAN KHAYAL,

NYATA, IRASIONAL, RASIONAL, BULAT DAN PECAHAN

DEFINISI

• Bilangan nyata: bilangan dengan sifat + / -
• Bilangan rasional: hasil bagi antara dua bilangan yang berupa bilangan bulat, pecahan, desimal (Contoh : 0.2; 1.1)
• Bilangan irasional: hasil bagi antara dua bilangan berupa pecahan dengan desimal tidak terbatas dan tidak berulang (Contoh : 0.149253843929)
• Bilangan khayal: bilangan tidak jelas + / - (Contoh : ) 4 )

Pendekatan Teori Himpunan

• Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional adalah bilangan bulat
• Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan
• Semua bilangan irasional adalah bilangan berdesimal, tapi tidaksemua bilangan berdesimal adalah bilangan irasional.
• Bilangan asli: semua bilangan bulat positif, tidak termasuk nol

A = {1,2,3,4,5……}

Bilangan cacah: semua bilangan bulat positif atau nol

C = {0,1,2,3,4,5…..}

Bilangan prima: bilangan yang tidak sama dengan satu & hanya habis dibagi dirinya sendiri P = {2, 3,4,5,7}

Hubungan Perbandingan

• Jika a ≤ b maka –a ≥ -b
• Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
• Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
• Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b + d

Operasi bilangan

• Kaidah komulatif (a + b = b + a)
• Kaidah asosiatif (a + b) + c = a + (b + c)
• Kaidah pembatalan jika a.c = b.c (c≠0) maka a = b
• Kaidah distributif a (b+c) = a.b + a.c

CONTOH

• Ubahlah pecahan dibawah ini menjadi pecahan desimal:

     3/8 ; 7/12; 3/20; -5/8

• Hitunglah jumlah dari bilangan diatas
• Hitunglah hasil kali dari bilangan diatas

PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA PANGKAT

Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun. Notasi pemangkatan sangat berfaedah untuk merumuskan bentuk perkalian secara ringkas.

Sebagai contoh :

·         7x7x7x7x7 = 7⁵

·         5x5x5x5x5x5x5 = 5⁷

·         0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,3⁶

Notasi pemangkatan berfaedah pula untuk meringkas bilangan kelipatan perkalian sepuluh yang nilainya sangat besar/kecil.

Sebagai contoh :

·         100.000 = 10⁵

·         0,00001 = 10^-5

·         5.000.000.000 = 5.10⁹

·         0,000.000.001 = 10^-9

·         0,000.000.034 = 34x10^-9

·         1.000.000.000 = 10⁹

LOGARITMA

·         Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran. la dapat dipakai untuk menyederhanakan operasioperasi perkalian, pembagian, pencarian pangkat dan penarikan akar.

·         Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut. Andaikata sebuah bilangan berpangkat (x a) sama dengan bilangan (m), maka dalam bentuk pemangkatan kita dapat menuliskan menjadi:

o   xa = m dimana x adalah basis dan a adalah pangkat.

o   Pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x ,

o   yang ditulis dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi :

a = x log m atau a = log x m.

5²= 25 atau 5 log 25 = 2

4³ = 64 atau4 log 64 = 3.

10² = 100 atau 10 log 100 = 2. 10 100 2 

BASIS LOGARITMA

• Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun. Akan tetapi pada umumnya basis logaritma selalu berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu.
• Basis logaritma yang paling lazim dipakai, karena pertimbangan praktis dalam penghitungan, adalah bilangan 10.
• Karena kelaziman tersebut maka basis 10 ini pada umumnya tidak dicantumkan dalam notasi logaritma.
• Dengan demikian log m berarti adalah 10 log m, log 24 = I0log 24, 10 log 65 dapat dituliskan menjadi log 65 saja.
• (Uraian-uraian selanjutnya di dalam buku ini juga mengikuti kelaziman tersebut; untuk setiap notasi logaritma yang tidak mencantumkan basis tertentu, berarti merupakan logaritma berbasis 10).
• Logaritma berbasis 10 disebut juga logaritma biasa (common logarithm) atau logaritma Briggs (berdasarkan nama penemunya, Henry Briggs, 1561 — 1630).
• Di samping bilangan 10, basis lain yang juga lazim dipakai dalam logaritma adalah bilangan e (e = 2,718287 atau sering diringkas menjadi 2,72).
• Logaritma berbasis e disebut juga logaritma alam (natural logarithm) atau logaritma Napier (John Napier, penemunya, hidup antara tahun 1550—1617).
• Jika notasi logaritma Briggs dilambangkan dengan log, maka logaritma Napier dilambangkan dengan Ln.
• Dengan demikian Ln m berarti elog m, Ln 24 = e log 24, e log 65 dapat dituliskan menjadi Ln 65 saja.
• Kaidah-kaidah Logaritma

o   1. X log X = 1

o   2. Xlog 1 = 0

o   3. Xlog X2 = 2

Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma

• Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.
• Persamaan eksponensial ialah persamaan yang bilangannya berupa pangkat, misalnya 5^x = 125 dan 3^x+1 =27. Sedangkan persamaan logaritmik ialah persamaan yang bilangannya berupa bilangan logaritma, sebagai contoh :

log (3 x + 298) = 3.

• Untuk menyelesaikan sebuah persamaan eksponensial dengan menggunakan logaritma, pertama-tama logaritmakan dulu kedua ruas persamaan, kemudian selesaikan bilangannya berdasarkan persamaan logaritmik yang baru terbentuk
• Hitunglah x untuk 3^x+1= 27

• Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3

D-E-R-E-T

• Deret merupakan rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
• Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku.
• Dilihat dari suku yang membentuknya, deret digolongkan atas deret berhingga & deret tak berhingga.
• Dilihat dari segi pola perubahan bilangan pada suku-sukunya deret dibedakan menjadi deret hitung & deret ukur.

DERET HITUNG

Deret hitung ialah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung dinamakan pembeda

Contoh:

7,12,17,22,27,32 (pembeda = 5)

93, 83, 73, 63, 53 (pembeda = -10)

Suku ke-n dari Deret Hitung

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung dengan sebuah rumus:

• Contoh 7, 12, 17, 22, 27, 32

Dalam contoh tersebut nilai suku pertama (a) dan pembedanya (b)

adalah 5

• Sn = a + (n-1)b

Jumlah ke-n dari Deret Hitung

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku- sukunya.

• Rumus jumlah deret adalah J = n/2 (a + Sn)

DERET UKUR

Deret ukur merupakan deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan

Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda

Contoh:

5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda =2)

512, 256, 128, 64, 32, 16) (pengganda=0,5)

Suku ke-n dari deret ukur

Sn = apn-1

a:suku pertama

p:pengganda

n:indeks suku

Jumlah ke-n dari deret ukur

a:suku pertama

p:pengganda

n:indeks suku

Penerapan Ekonomi

Contoh

Penerimaan PT Marubeni dari hasil penjualan adalah Rp 720 juta pada tahun ke 5 dan Rp 980 juta pada tahun ke 7. Apabila pola penerimaan seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaan tiap tahun? Berapa penerimaan tahun 1? Tahun berapa penerimaan Rp 460 juta? Model pertumbuhan penduduk

Rumus pertumbuhan penduduk

Pt = P1 Rt-1

Ket.     P1 : jumlah pada tahun pertama

Pt : jumlah pada tahun ke-t

r : persentase pertumbuhan per tahun

t : indeks waktu (tahun)

R : 1 + r

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhan 4 % per tahun. Hitunglah jumlah penduduk tahun 2006. Jika mulai 2006 pertumbuhan menurun menjadi 2.5%, berapa jumlah penduduk 11 tahun kemudian?

PERSAMAAN / FUNGSI

Fungsi merupakan suatu bentuk hubungan yang menyatakan hubungan ketergantungan antara satu variabel dengan variabel lain.

Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur

Unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta.

• Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu.
• Independent variable: variabel yang nilainya tidak tergantung pada Variabel lain
• Dependent variable: variabel yang nilainya tergantung variabel lain
• Konstanta (intercept) merupakan bilangan pembentuk sebuah fungsi dan tidak terkait pada variabel tertentu
• Koefisien merupakan bilangan yang terkait dengan variable pada sebuah fungsi

Contoh fungsi:

Y= 2 + 3X

Y= 2 + 3X1 + 4X2

Y= X2+5X-2

Y= P2+4P-5